2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫0ξg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫0ξg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

admin2018-09-25  57
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得
f(ξ)∫0ξg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
选项
答案记G(x)=G(x)∫xbg(t)dt－g(x)∫axf(t)dt，则可以求得G(x)的原函数为F(x)=∫axf(r)dt∫xbg(t)dt+C，其中C为任意常数．因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，所以F(x)：①在[a，b]上连续；②在(a，b)内可导；③F(a)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
解析
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考研数学一

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