设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f(ξ)∫0ξg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

admin2018-09-25  30

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得
f(ξ)∫0ξg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

选项

答案记G(x)=G(x)∫xbg(t)dt-g(x)∫axf(t)dt,则可以求得G(x)的原函数为F(x)=∫axf(r)dt∫xbg(t)dt+C,其中C为任意常数.因为f(x),g(x)在[a,b]上连续,所以F(x):①在[a,b]上连续;②在(a,b)内可导;③F(a)=F(b)=C,即F(x)在[a,b]上满足罗尔定理,所以,至少存在一点ξ∈(a,b),使得F’(ξ)=0,即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

解析
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