2. 考研
  3. 设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明： 对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)E(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；

设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明： 对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)E(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；

admin2018-05-25  106
问题 设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明：
对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)E(0，1)，使得
    f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；
选项
答案对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1． 因为f’’(x)∈C(－1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(－1，1)内保号，不妨设f’’(x)＞0，则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．
解析
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考研数学三

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