设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得

admin2018-05-25  43

问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得

选项

答案令φ(x)=(x-1)2f’(x),显然φ(x)在[0,1]上可导.由f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=0,再由φ(c)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈ (c,1)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)f’’(x),所以2(ξ-1)f’(ξ)+(ξ-1)2f’’(ξ)=0,整理得 [*]

解析
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