2. 考研
  3. 设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1／2，1／3，1／4，1／5，则行列式|B－1－E|=_______．

设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1／2，1／3，1／4，1／5，则行列式|B－1－E|=_______．

admin2018-07-26  67
问题 设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1／2，1／3，1／4，1／5，则行列式|B－1－E|=_______．
选项
答案24．
解析 1 由于相似矩阵有相同的特征值，故B的特征值为：1／2，1／3，1／4，1／5，
因此，B－1的特征值为：2，3，4，5．
从而知B－1－E的特征值为：1，2，3，4．
由特征值的性质，得|B－1－E|=1×2×3×4=24
2 由题设条件知4阶矩阵B的特征值为1／2，1／3，1／4，1／5，B的特征值互不相同，故B相似于对角矩阵．
即存在可逆矩阵P，使得

两端取逆矩阵，得P－1B－1P

故有
p－1(B－1－E)P=P－1B－1P－1－E

两端取行列式，即得|B－1－E|=24．
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考研数学三

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