设4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式|B-1-E|=_______.

admin2018-07-26  22

问题 设4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式|B-1-E|=_______.

选项

答案24.

解析 1 由于相似矩阵有相同的特征值,故B的特征值为:1/2,1/3,1/4,1/5,
因此,B-1的特征值为:2,3,4,5.
从而知B-1-E的特征值为:1,2,3,4.
由特征值的性质,得|B-1-E|=1×2×3×4=24
2 由题设条件知4阶矩阵B的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,B的特征值互不相同,故B相似于对角矩阵.
即存在可逆矩阵P,使得

两端取逆矩阵,得P-1B-1P

故有
p-1(B-1-E)P=P-1B-1P-1-E

两端取行列式,即得|B-1-E|=24.
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