2. 考研
  3. 已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．

admin2019-04-08  103
问题 已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．
选项
答案转化为矩阵证明．设A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]．注意到α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则 B=[α1，α2，α3，α5一α4]=[α1，α2，α3，α5一λ1α1一λ2α2-λ3α3] [*] [α1，α2，α3，α5]=A． 因而矩阵B与A等价，故秩（B）=秩（A）=4，即α1，α2，α3，α5一α4线性无关．
解析
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考研数学一

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