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  3. 证明：如果n阶矩阵满足(A—aE)(A一bE)=O(其中a≠b)，那么A可对角化．

证明：如果n阶矩阵满足(A—aE)(A一bE)=O(其中a≠b)，那么A可对角化．

admin2020-09-25  67
问题 证明：如果n阶矩阵满足(A—aE)(A一bE)=O(其中a≠b)，那么A可对角化．
选项
答案由(A—aE)(A一bE)=O，有|A—aE|=0或|A一bE|=0，故A的特征值为a或b． ①若a是A的特征值，b不是A的特征值，则|A一bE|≠0，即A一bE是可逆阵，于是A—aE=O，即A=aE,，所以A可对角化． ②若b是A的特征值，a不是A的特征值，同理知A可对角化． ③若a，b都是A的特征值，则由矩阵秩的不等式有：R(A—aE)+R(A一bE)≤n， R(A—aE)+R(A一bE)=R(A—aE)+R(bE一A) ≥R(A—aE+bE一A)=R[(b一a)E]=n(a≠b)， 所以R(A—aE)+R(A一bE)=n，即[n一R(A—aE)]+[n一R(A一bE)]=n， 所以方程(A—aE)x=0与(A一bE)x=0的基础解系中向量个数之和为n，则A有n个线性无关的特征向量，故A可对角化． 综上可知A总可对角化．
解析
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考研数学三

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