2. 考研
  3. 设E为四阶单位矩阵，且 B=(E+A)－1(E－A) 则(E+B)－1=_____________．

设E为四阶单位矩阵，且 B=(E+A)－1(E－A) 则(E+B)－1=_____________．

admin2019-03-22  58
问题 设E为四阶单位矩阵，且
         B=(E+A)－1(E－A)
则(E+B)－1=_____________．
选项
答案[*]
解析 解一  用单位矩阵恒等变形法，得到
             B+E=(E+A)－1(E－A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1(E－A+E+A)=2(E+A)－1．
故
  
    解二  在B=(E+A)－1(E－A)两边左乘E+A，得到
              (E+A)B=E－A，  即  AB+A+B－E=0，
由命题2．2．1．5即得
          (A+E)(B+E)=[1×1－(－1)]E=2E  (其中a－b=1，C=－1)，
故
  
    注：命题2．2．1．5  设同阶方阵A，B满足AB+aA+bB+cE=O，其中a，b，c为常数，则
                (A+bE)(B+aE)=(ab－c)E．
        (1)当ab－c≠0时，A+bE与B+aE均为可逆，且
               (A+bE)－1=(B+aE)／(ab－c)，  (B+aE)－1=(A+bE)／(ab－c)．
        (2)AB=BA，因而对满足BA+aA+bB+cE=O的矩阵A，B同样也有上述结论，即
               A+bE，B+aE可逆，且
          (A+bE)－1=(B+aE)／(ab－c)，  (B+aE)－1=(A+bE)／(ab－c)．
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考研数学三

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