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设E为四阶单位矩阵,且 B=(E+A)-1(E-A) 则(E+B)-1=_____________.
设E为四阶单位矩阵,且 B=(E+A)-1(E-A) 则(E+B)-1=_____________.
admin
2019-03-22
57
问题
设
E为四阶单位矩阵,且
B=(E+A)
-1
(E-A)
则(E+B)
-1
=_____________.
选项
答案
[*]
解析
解一 用单位矩阵恒等变形法,得到
B+E=(E+A)
-1
(E-A)+(E+A)
-1
(E+A)=(E+A)
-1
(E-A+E+A)=2(E+A)
-1
.
故
解二 在B=(E+A)
-1
(E-A)两边左乘E+A,得到
(E+A)B=E-A, 即 AB+A+B-E=0,
由命题2.2.1.5即得
(A+E)(B+E)=[1×1-(-1)]E=2E (其中a-b=1,C=-1),
故
注:命题2.2.1.5 设同阶方阵A,B满足AB+aA+bB+cE=O,其中a,b,c为常数,则
(A+bE)(B+aE)=(ab-c)E.
(1)当ab-c≠0时,A+bE与B+aE均为可逆,且
(A+bE)
-1
=(B+aE)/(ab-c), (B+aE)
-1
=(A+bE)/(ab-c).
(2)AB=BA,因而对满足BA+aA+bB+cE=O的矩阵A,B同样也有上述结论,即
A+bE,B+aE可逆,且
(A+bE)
-1
=(B+aE)/(ab-c), (B+aE)
-1
=(A+bE)/(ab-c).
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考研数学三
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