下列矩阵中两两相似的是

admin2015-05-07 26

问题下列矩阵

中两两相似的是

选项 A、A₃，A₄
B、A₁，A₂
C、A₁，A₃
D、A₂，A₃

答案C

解析判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别．相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，…
A₃，A₄虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似．A₁与A₁或A₂与A₃虽秩相等但特征值不一样，因此不相似．用排除法知应选(C)．
实际上，A₁，A₃的特征值都是3，0，0，且r(0E－A₁)=1，r(0E－A₃)=1，则
n－r(0E－A₁)=3－1=2， n－r(0E－A₃)=3－1=2，
说明齐次方程组(0E－A₁)x=0与(0E－A₃)x=0都有两个线性无关的解，即对应于λ=0，矩阵A₁和A₃都有2个线性无关的特征向量，所以矩阵A₁和A₃都与对角矩阵

相似，从而A₁与A₃相似．

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