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  3. 设f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0，证明

设f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0，证明

admin2016-01-11  26
问题 设f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0，证明
选项
答案由f(x)＞0知∫01xf(x)dx＞0，∫01f(x)dx＞0． 从而为证明此不等式只须证∫01xf2(x)dx∫01f(x)dx≤∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx． 故令 I=∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx一∫01xf2(x)dx∫01f(x)dx =∫01xf(x)dx∫01f2(y)dy一∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy [*] 其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}． 由于D关于y=x对称，则[*] 以上两式相加，得[*] 由于f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0，所以 当y≤x时f(y)≥f(x)，因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0； 当y≥x时f(y)≤f(x)，因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0． 故2I≥0即I＞0，因此所要证明的不等式成立．
解析
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考研数学二

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