设f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0,证明

admin2016-01-11  27

问题 设f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0,证明

选项

答案由f(x)>0知∫01xf(x)dx>0,∫01f(x)dx>0. 从而为证明此不等式只须证∫01xf2(x)dx∫01f(x)dx≤∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx. 故令 I=∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx一∫01xf2(x)dx∫01f(x)dx =∫01xf(x)dx∫01f2(y)dy一∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy [*] 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}. 由于D关于y=x对称,则[*] 以上两式相加,得[*] 由于f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0,所以 当y≤x时f(y)≥f(x),因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0; 当y≥x时f(y)≤f(x),因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0. 故2I≥0即I>0,因此所要证明的不等式成立.

解析
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