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设f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0,证明
设f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0,证明
admin
2016-01-11
27
问题
设f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0,证明
选项
答案
由f(x)>0知∫
0
1
xf(x)dx>0,∫
0
1
f(x)dx>0. 从而为证明此不等式只须证∫
0
1
xf
2
(x)dx∫
0
1
f(x)dx≤∫
0
1
f
2
(x)dx∫
0
1
xf(x)dx. 故令 I=∫
0
1
f
2
(x)dx∫
0
1
xf(x)dx一∫
0
1
xf
2
(x)dx∫
0
1
f(x)dx =∫
0
1
xf(x)dx∫
0
1
f
2
(y)dy一∫
0
1
f(x)dx∫
0
1
yf
2
(y)dy [*] 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}. 由于D关于y=x对称,则[*] 以上两式相加,得[*] 由于f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0,所以 当y≤x时f(y)≥f(x),因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0; 当y≥x时f(y)≤f(x),因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0. 故2I≥0即I>0,因此所要证明的不等式成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xe34777K
0
考研数学二
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