设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有( )

admin2021-02-25  32

问题 设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有(             )

选项 A、A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
B、A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
C、A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
D、A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

答案A

解析 本题考查矩阵的秩及其矩阵行、列向量组的线性相关性.注意向量组α1,α2,…,αr线性相关的充分必要条件是方程组x1α1+x2α2+…+xrαr=0有非零解,若令矩阵A=(α1,α2,…,αr),则矩阵A的列向量组线性相关的充分必要条件Ax=0有非零解.本题的4个选项的差别在于行与列,所以应从已知条件出发进行分析,若举反例,则更容易找出正确选项.
设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,当AB=O时,有r(A)+r(B)≤n,又A,B为非零矩阵,则必有r(A)>0,
r(B)>0,可见r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.故选A.
注:本题也可以用齐次线性方程组有非零解考虑正确选项.
由于AB=O,则矩阵B的每一列向量均为方程组Ax=0的解,而B≠O,于是方程组Ax=0有非零解,所以矩阵
A的列向量组线性相关.又BTAT=O,而AT≠O,于是方程组BTx=0有非零解,所以BT的列向量组,也即B的行向
量组线性相关,选项A正确.
本题还可以用取特殊值法:如若取A=(1,0),,易知AB=O,且有A的行向量组线性无关,B的列向量
组也线性无关.即选项B、C、D均不正确.
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