设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )

admin2021-02-25 99

问题设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )

选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

答案A

解析本题考查矩阵的秩及其矩阵行、列向量组的线性相关性．注意向量组α₁，α₂，…，α_r线性相关的充分必要条件是方程组x₁α₁+x₂α₂+…+x_rα_r=0有非零解，若令矩阵A=(α₁，α₂，…，α_r)，则矩阵A的列向量组线性相关的充分必要条件Ax=0有非零解．本题的4个选项的差别在于行与列，所以应从已知条件出发进行分析，若举反例，则更容易找出正确选项．
设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，当AB=O时，有r(A)+r(B)≤n，又A，B为非零矩阵，则必有r(A)＞0，
r(B)＞0，可见r(A)＜n，r(B)＜n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．故选A．
注：本题也可以用齐次线性方程组有非零解考虑正确选项．
由于AB=O，则矩阵B的每一列向量均为方程组Ax=0的解，而B≠O，于是方程组Ax=0有非零解，所以矩阵
A的列向量组线性相关．又B^TA^T=O，而A^T≠O，于是方程组B^Tx=0有非零解，所以B^T的列向量组，也即B的行向
量组线性相关，选项A正确．
本题还可以用取特殊值法：如若取A=(1，0)，

，易知AB=O，且有A的行向量组线性无关，B的列向量
组也线性无关．即选项B、C、D均不正确．

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考研数学二

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