设y=f(x)= (Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性,单调性,极值; (Ⅱ)讨论曲线y=f(x)的凹凸性,拐点,渐近线,并根据以上(Ⅰ)、(Ⅱ)的讨论结果,画出函数y=f(x)的大致图形.

admin2019-07-28  28

问题 设y=f(x)=
(Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性,单调性,极值;
(Ⅱ)讨论曲线y=f(x)的凹凸性,拐点,渐近线,并根据以上(Ⅰ)、(Ⅱ)的讨论结果,画出函数y=f(x)的大致图形.

选项

答案(Ⅰ)因为二次式x2±x+1的判别式(±1)2-4=-3<0,所以x2±x+1>0,f(x)的定义域为(-∞,+∞). 又f(x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. [*] 当0≤x≤[*]时,f′(x)<0.当x>[*]时,f′(x)的分子中两项记为a,b,a>0,b>0,考虑 a2-b2=[(2x-1)[*] =-6x<0, 故0<a<b.所以当x>[*]时,仍有f′(x)<0,从而当0≤x<+∞时,f′(x)<0.又f(x)为奇函数,故当-∞<x<0时,f′(x)<0.所以当x∈(-∞,+∞)时,均有f′(x)<0,即f(x)在(-∞,+∞)上严格单调减少,f(x)无极值. (Ⅱ) [*] f″(0)=0. 所以当-∞<x<0时,曲线y=f(x)是凸的,当0<x<+∞时,曲线是凹的.点(0,f(0))为拐点. 易知无铅直渐近线.考虑水平渐近线: [*] 所以沿x→+∞方向有水平渐近线y=-1.由于f(x)为奇函数,所以沿x→-∞方向有一条水平渐近线y=1. 画图如下: [*]

解析
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