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设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为,求f(x)的表达式。
设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为,求f(x)的表达式。
admin
2020-03-16
106
问题
设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为
,求f(x)的表达式。
选项
答案
由题意得 S
OCMA
=[*][1+f(x)],S
CBM
=∫
x
1
f(t)dt, 所以[*] 两边对x求导 [*] 即有 1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x
2
。 当x≠0时,化简得[*],即 [*] 此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程,其通解为 [*] =x
2
+1+Cx。 曲线过点B(1,0),代入上式,得C=一2。所以 f(x)=x
2
+1—2x=(x一1)
2
。
解析
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考研数学二
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