将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )

admin2019-02-23 51

问题将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )

选项 A、—1
B、0
C、

D、1

答案A

解析掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n—X。
由方差的定义：D(X)=E(X²)一[E(X)]²，所以
D(Y)=D(n—X)=E(n—X)²一[E(n—X)]²=E(n²—2nX+X²)—[n一E(X)]²
=n²— 2nE(X) +E(X²)一n²+ 2nE(X) — [E(X)]²=E(X²)一[E(X)]²
=D(X)。
由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；
Cov(X₁+X₂，Y) = Cov(X₁，Y) + Cov(X₂，Y)，
所以 Cov(X，Y) = Cov(X，n—X) = Cov(X，n) — Cov(X，X)=0— D(X)=—D(X)，
由相关系数的定义，得

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