设α1,α2,…,αn为n个n维向量,证明:α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1,α2,…,αn线性表示.

admin2019-06-28  35

问题 设α1,α2,…,αn为n个n维向量,证明:α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1,α2,…,αn线性表示.

选项

答案设α1,α2,…,αn线性无关,对任意的n维向量α,因为α1,α2,…,αn,α一定线性相关,所以α可由α1,α2,…,αn唯一线性表示,即任一n维向量总可由α1,α2,…,αn线性表示. 反之,设任一n维向量总可由α1,α2,…,αn线性表示, 取[*], 则e1,e2,…,en可由α1,α2,…,αn线性表示,故α1,α2,…,αn的秩不小于e1,e2,…,en的秩,而e1,e2,…,en线性无关,所以α1,α2,…,αn的秩一定为n,即α1,α2,…,αn线性无关.

解析
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