设随机变量X与y相互独立，均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max{X，Y}≤2}=( )

admin2021-04-16 53

问题设随机变量X与y相互独立，均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max{X，Y}≤2}=( )

选项 A、1／3
B、4／9
C、5／9
D、2／3

答案A

解析法一：f(x，y)=f(x)×f(y)=

{max{X，Y}≤2}→{X≤2}∩{Y≤2}，{1＜max{X，Y}}→{X＞1}∪{Y＞1}，故P{1＜max{X，Y}≤2}=P{{1＜X≤2，y≤2}∪{1＜y≤2，X≤2}}=3／9=1／3。
法二：令U=max{X，Y}，其分布函数为F_U(u)=P{U≤u}=P{max{X，Y}≤u}=P{X≤u，Y≤u}。
当X，Y相互独立时，F_U(u)=P{X≤u，Y≤u}=P{X≤u}P{Y≤u}=F_X(u)F_Y(u)；
当X，Y独立同分布时，F_U(u)=[F_X(u)]²。
故U的概率密度为f_U(u)=F_U(u)-2F_X(u)f_X(u)=2u／9(0≤u≤3)。
所以P{1＜U≤2}=

=1／3。

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