设随机变量X与y相互独立,均服从[0,3]上的均匀分布,则P{1<max{X,Y}≤2}=( )

admin2021-04-16  40

问题 设随机变量X与y相互独立,均服从[0,3]上的均匀分布,则P{1<max{X,Y}≤2}=(       )

选项 A、1/3
B、4/9
C、5/9
D、2/3

答案A

解析 法一:f(x,y)=f(x)×f(y)=
{max{X,Y}≤2}→{X≤2}∩{Y≤2},{1<max{X,Y}}→{X>1}∪{Y>1},故P{1<max{X,Y}≤2}=P{{1<X≤2,y≤2}∪{1<y≤2,X≤2}}=3/9=1/3。
法二:令U=max{X,Y},其分布函数为FU(u)=P{U≤u}=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}。
当X,Y相互独立时,FU(u)=P{X≤u,Y≤u}=P{X≤u}P{Y≤u}=FX(u)FY(u);
当X,Y独立同分布时,FU(u)=[FX(u)]2
故U的概率密度为fU(u)=FU(u)-2FX(u)fX(u)=2u/9(0≤u≤3)。
所以P{1<U≤2}==1/3。
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