设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-(b)

admin2015-06-30 57

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’₊(a)f’_-(b)<0．证明：存在∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

选项

答案不妨设f’₊(a)>0，f’_-(b)<0，根据极限的保号性，由f’₊(a)=[*]>0，则存在δ>0(δ0，即f(x)>f(a)，所以存在x₁∈(a，b)，使得f(x₁)>f(a)．同理由f’_-(b)<0，存在x₂∈(a，b)，使得f(x₂)>f(b)．因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x₁)>f(a)，f(x₂)>f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b) 内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．

解析

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