(09年)若3维列向量α,β满足αTβ=2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为_______。

admin2017-04-20  14

问题 (09年)若3维列向量α,β满足αTβ=2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为_______。

选项

答案2

解析 由于αTβ=2,故β≠0,且有(βαT)β=β(αTβ)=2β,于是由特征值与特征向量的定义,知2为方阵βαT的一个特征值且β为对应的一个特征向量.下面还可证明方阵βαT只有一个非零特征值.首先可证方阵βαT的秩为1:由βαT≠0知r(βαT)≥1,又由r(βαT)≤r(β)=1,知r(βαT)=1,故0为βαT的特征值.其次可证0为βαT的2重特征值:由于齐次线性方程组(O一βαT)x=0的基础解系所含向量的个数一一即方阵βαT的属于特征值0的线性无关特征向量的个数=3-r(βαT)=3--1=2,所以0至少是βαT的2重特征值,但不会是3重特征值(否则βαT=0).既然3阶方阵βαT有2重特征值0,因此其非零特征值就只能有一个.
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