设A是m×n矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=一aE+ATA是正定阵,则a的取值范围是__________。

admin2019-05-19  60

问题 设A是m×n矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=一aE+ATA是正定阵,则a的取值范围是__________。

选项

答案a<0

解析 BT=(一aE+ATA)T=一aE+ATA=B,故B是一个对称矩阵。
  B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0,都有
xTBx=xT(一aE+ATA)x=一axTx+xTATAx=一axTx+(Ax)TAx>0,
其中(Ax)T(Ax)≥0,xTx>0,因此a的取值范围是一a>0,即a<0。
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