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  3. 求函数u=x3+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。

求函数u=x3+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。

admin2019-01-19  62
问题 求函数u=x3+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。
选项
答案方法一：可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数 F(x，y，z，λ，μ) =x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(z+y+z一4)， 令 [*] 解方程组得 (x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)。 代入原函数，求得最大值为72，最小值为6。 方法二：问题可转化为一个约束函数的情况，求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在条件x+y+x2 +y2=4下的最值，设 F(x，y，λ)=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ(x+y+x2+y2一4)， 令 [*] 解得(x1，y1)=(1，1)，(x2，y2)=(一2，一2)，代入z=x2+y2，得z1=2，z1=8。 同理可得原函数最大值为72，最小值为6。
解析
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考研数学三

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