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求函数u=x3+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。
求函数u=x3+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。
admin
2019-01-19
78
问题
求函数u=x
3
+y
2
+z
2
在约束条件z=x
2
+y
2
和x+y+z=4下的最大值与最小值。
选项
答案
方法一:可以利用拉格朗日乘数法求极值,两个约束条件的情况下,作拉格朗日函数 F(x,y,z,λ,μ) =x
2
+y
2
+z
2
+λ(x
2
+y
2
一z)+μ(z+y+z一4), 令 [*] 解方程组得 (x
1
,y
1
,z
1
)=(1,1,2),(x
2
,y
2
,z
2
)=(一2,一2,8)。 代入原函数,求得最大值为72,最小值为6。 方法二:问题可转化为一个约束函数的情况,求u=x
2
+y
2
+x
4
+2x
2
y
2
+y
4
在条件x+y+x
2
+y
2
=4下的最值,设 F(x,y,λ)=u=x
4
+y
4
+2x
2
y
2
+x
2
+y
2
+λ(x+y+x
2
+y
2
一4), 令 [*] 解得(x
1
,y
1
)=(1,1),(x
2
,y
2
)=(一2,一2),代入z=x
2
+y
2
,得z
1
=2,z
1
=8。 同理可得原函数最大值为72,最小值为6。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/y6P4777K
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考研数学三
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