某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工．设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成向量． (1)求 (

admin2016-04-11 63

问题某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将

熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有

成为熟练工．设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x_n和y_n，记成向量

．
(1)求

(2)验证

是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
(3)当

选项

答案(1)由题设，有 [*] (2)由于η₁与η₂的对应分量不成比例，故η₁与η₂线性无关．因Aη₁=[*]=η₁，故η₁为A的特征向量，且相应的特征值为λ₁=1．因 [*]

解析本题综合考查由实际问题建立数学关系式的能力，以及矩阵运算、特征值与特征向量的概念、方阵相似于对角阵的概念及其应用．本题首先要能正确写出矩阵A来．计算的重点是求Aⁿ，若A能相似于对角阵，则Aⁿ易于计算，而本题(2)相当于已经指出A可相似对角化，并且相似变换矩阵及相似对角阵实际上已从(2)的验证中得到．

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考研数学一

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