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  3. 已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n-1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Ax=β必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1

已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n-1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Ax=β必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1

admin2021-02-25  98
问题 已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n-1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Ax=β必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1
选项
答案由题设β=α1+α2+…+αn，可得 [*] 则向量η=(1，1，…，1)T是方程组Ax=β的解，由此知方程组Ax=β有解，故r(A)=r(A，β)． 由题设知α1，α2，…，αn-1线性相关，推得α1，α2，…，αn线性相关，而又由题设知α2，α3，…，αn线性无关，所以向量组α1，α2，…，αn的秩为n-1，从而r(A)=n-1． 综上可知，r(A)=r(A，β)=n-1＜n．故方程组Ax=β有无穷多组解，并且其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n-(n-1)=1个非零解组成． 又由α1，α2，…，αn-1线性相关可知，存在不全为零的数λ1，λ2，…，λn-1，使 λ1α1+λ2α2+…+λn-1αn-1=0． 由此推得 [*] 所以非零向量(λ1，λ2，…，λn-1，0)T是Ax=0的解，因而是Ax=0的一个基础解系，故Ax=β的通解 x=k(λ1，λ2，…，n-1，0)T+(1，1，…，1，1)T，其中k为任意常数， 且显见an=1．
解析 本题考查非齐次线性方程组通解的结构和向量组线性相关性的有关理论．是一道抽象方程组求解的证明题．
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考研数学二

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