首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知n维向量组α1,α2,…,αn中,前n-1个线性相关,后n-1个线性无关,若令β=α1+α2+…+αn,A=(α1,α2,…,αn).试证方程组Ax=β必有无穷多组解,且其任意解(α1,α2,…,αn)T中必有αn=1
已知n维向量组α1,α2,…,αn中,前n-1个线性相关,后n-1个线性无关,若令β=α1+α2+…+αn,A=(α1,α2,…,αn).试证方程组Ax=β必有无穷多组解,且其任意解(α1,α2,…,αn)T中必有αn=1
admin
2021-02-25
69
问题
已知n维向量组α
1
,α
2
,…,α
n
中,前n-1个线性相关,后n-1个线性无关,若令β=α
1
+α
2
+…+α
n
,A=(α
1
,α
2
,…,α
n
).试证方程组Ax=β必有无穷多组解,且其任意解(α
1
,α
2
,…,α
n
)
T
中必有α
n
=1
选项
答案
由题设β=α
1
+α
2
+…+α
n
,可得 [*] 则向量η=(1,1,…,1)
T
是方程组Ax=β的解,由此知方程组Ax=β有解,故r(A)=r(A,β). 由题设知α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性相关,推得α
1
,α
2
,…,α
n
线性相关,而又由题设知α
2
,α
3
,…,α
n
线性无关,所以向量组α
1
,α
2
,…,α
n
的秩为n-1,从而r(A)=n-1. 综上可知,r(A)=r(A,β)=n-1<n.故方程组Ax=β有无穷多组解,并且其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n-(n-1)=1个非零解组成. 又由α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性相关可知,存在不全为零的数λ
1
,λ
2
,…,λ
n-1
,使 λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
n-1
α
n-1
=0. 由此推得 [*] 所以非零向量(λ
1
,λ
2
,…,λ
n-1
,0)
T
是Ax=0的解,因而是Ax=0的一个基础解系,故Ax=β的通解 x=k(λ
1
,λ
2
,…,
n-1
,0)
T
+(1,1,…,1,1)
T
,其中k为任意常数, 且显见a
n
=1.
解析
本题考查非齐次线性方程组通解的结构和向量组线性相关性的有关理论.是一道抽象方程组求解的证明题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ra84777K
0
考研数学二
相关试题推荐
A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,试证明:(1)aij=Aij←→ATA=E且|A|=1;(2)aij=一Aij←→ATA=E且|A|=一1.
设向量α1,α2,…,αn-1是n—1个线性无关的n维列向量,ξ1,ξ2是与α1,α2,…,αn-1均正交的n维非零列向量。证明:ξ1,ξ2线性相关;
设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程f(t)=.试求f(t).
设α1,α2,α3为四维列向量组,α1,α2线性无关,α3=3α1+2α2,A=(α1,α2,α3),求Ax=0的一个基础解系.
设有向量组(I):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α1=(1,-1,a+2)T和向量组(II):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.试问:当a为何值时,向量组(I)与(II)等价?当以为何值
下列矩阵中两两相似的是
设A=,若存在秩大于1的三阶矩阵B使得BA=0,则An=_______.
微分方程y〞+y=-2x的通解为_________.
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且试证:(Ⅰ)存在,使f(η)=η;(Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1.
设y″的系数为1的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为y1*=(1-x+x2)ex与y1*=x2ex则该微分方程为______.
随机试题
维护受试者利益,可通过以下方式予以保障,但除外
不符合冠心病心绞痛特点的是
男,55岁。2个月前出现吃干硬食物时有哽噎感、喜软食,且哽噎感越来越明显,查体无阳性体征,钡餐造影见局限性食管管壁僵硬,化验检查无明显异常。首先应考虑的是
在公司采取募集设立方式设立的情况下,各发起人认购公司股份数量有何要求?设公司成立两年后,乙公司将持有的喜洋洋公司股份1500万股转让给己公司,是否合法?为什么?
雅新公司成立于2005年4月,因管理不善等原因,到2011年时外债高达20亿元,濒临破产。在当地政府有关部门帮助下,公司本想重组自救,但未成功。2011年4月,多家银行向该公司所在地法院申请破产重整。4月29日,法院裁定准许该公司重整,并确定兴达会计师事务
如何看待文字的作用?
以下是某报刊登的一则广告:对咽喉炎患者,有五分之四的医院都会给开“咽喉康含片”。因此,你若患了咽喉炎,最佳的选择是“咽喉康含片”。以下哪项如果为真最能对该广告的论点提出质疑?
USB3.0接口的理论最快传输速率为()。
What’stheman’sfirstreactiontowhatthewomandescribes?
WheredoesLilycomefrom?
最新回复
(
0
)