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设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3). 证明: (1)存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0; (2)存在ξ∈(0,3),使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0.
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3). 证明: (1)存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0; (2)存在ξ∈(0,3),使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0.
admin
2019-09-04
65
问题
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫
0
2
f(t)dt=f(2)+f(3).
证明:
(1)存在ξ
1
,ξ
2
∈(0,3),使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0;
(2)存在ξ∈(0,3),使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0.
选项
答案
(1)令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,F’(x)=f(x), ∫
0
2
f(t)dt=F(2)-F(0)=F’(c)(2-0)=2f(c),其中0<c<2. 因为f(x)在[2,3]上连续,所以f(x)在[2,3]上取到最小值m和最大值M, [*] 由介值定理,存在x
0
∈[2,3],使得f(x
0
)=[*],即f(2)+f(3)=2f(x
0
), 于是f(0)=f(c)=f(x
0
), 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,c)[*](0,3),ξ
2
∈(c,x)[*](0,3),使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0. (2)令φ(x)=e
-2x
f’(x),φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,3),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e
-2x
[f’’(x)-2f’(x)]且e
-2x
≠0,故f’’(ξ)-2f’(ξ)=0.
解析
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0
考研数学三
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