2. 考研
  3. 设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)． 证明： (1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0； (2)存在ξ∈(0，3)，使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0．

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)． 证明： (1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0； (2)存在ξ∈(0，3)，使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0．

admin2019-09-04  43
问题 设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．
证明：
(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0；
(2)存在ξ∈(0，3)，使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0．
选项
答案(1)令F(x)=∫0xf(t)dt，F’(x)=f(x)， ∫02f(t)dt=F(2)-F(0)=F’(c)(2-0)=2f(c)，其中0＜c＜2． 因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M， [*] 由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=[*]，即f(2)+f(3)=2f(x0)， 于是f(0)=f(c)=f(x0)， 由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)[*](0，3)，ξ2∈(c，x)[*](0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0． (2)令φ(x)=e-2xf’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，3)，使得φ’(ξ)=0， 而φ’(x)=e-2x[f’’(x)-2f’(x)]且e-2x≠0，故f’’(ξ)-2f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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