设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3). 证明: (1)存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0; (2)存在ξ∈(0,3),使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0.

admin2019-09-04  35

问题 设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).
证明:
(1)存在ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0;
(2)存在ξ∈(0,3),使得f’’(ξ)=2f’(ξ)=0.

选项

答案(1)令F(x)=∫0xf(t)dt,F’(x)=f(x), ∫02f(t)dt=F(2)-F(0)=F’(c)(2-0)=2f(c),其中0<c<2. 因为f(x)在[2,3]上连续,所以f(x)在[2,3]上取到最小值m和最大值M, [*] 由介值定理,存在x0∈[2,3],使得f(x0)=[*],即f(2)+f(3)=2f(x0), 于是f(0)=f(c)=f(x0), 由罗尔定理,存在ξ1∈(0,c)[*](0,3),ξ2∈(c,x)[*](0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0. (2)令φ(x)=e-2xf’(x),φ(ξ1)=φ(ξ2)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](0,3),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e-2x[f’’(x)-2f’(x)]且e-2x≠0,故f’’(ξ)-2f’(ξ)=0.

解析
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