2. 考研
  3. 设α1，α2，α3,α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3,α4)，A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为( )

设α1，α2，α3,α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3,α4)，A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为( )

admin2019-04-09  56
问题 设α1，α2，α3,α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3,α4)，A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为(    )
选项 A、α1，α2，α3。
B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。
C、α2，α3，α4。
D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。
答案C
解析 方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩r(A)=4—1=3，则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。
    又A*(α1，α2，α3，α4)=A*A=|A|E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程A*x=0的解。将(1，0，2，0)T代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2，α3，α4线性表出，而向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量组α2，α3，α4必线性无关，故选C。
    事实上，由α1+2α3=0可知向量组α1，α2，α3线性相关，A选项不正确；显然，B选项中的向量都能被α1，α2，α3线性表出,说明向量组α1+α2，α2+α3,α1+α3线性相关，B选项不正确；而D选项中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以D选项也不正确。
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考研数学三

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