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  3. 设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sin2x+∫0xtf(x-t)dt．求f(x)．

设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sin2x+∫0xtf(x-t)dt．求f(x)．

admin2019-04-22  65
问题 设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sin2x+∫0xtf(x-t)dt．求f(x)．
选项
答案将 ∫0xtf(x-t)dt[*]∫0x(x-u)f(u)(-du)=∫0x(x-u)f(u)du =x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du 代入原方程即得∫0xf(t)dt=sin2x+x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du. ① 由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得 f(x)=2sinxcosx+∫0xf(u)du=sin2x+∫0xf(u)du． ② (在①中令x=0，得0=0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令x=0可得f(0)=0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得 f’(x)=2cos2x+f(x)． 故求y=f(x)等价于求解初值问题[*]的特解．解之可得 y=f(x)=[*](ex+2sin2x-cos2x)．
解析
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考研数学二

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