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  3. 设f(x)在区间[a，b]．上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设f(x)在区间[a，b]．上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

admin2022-10-27  13
问题 设f(x)在区间[a，b]．上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
选项
答案令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=[*]，由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+[*]-(a-x0)2+[*]-(a-x0)3，ξ1∈(a，x0)， F(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+[*]-(b-x0)2+[*]-(b-x0)3，ξ1∈(b，x0)， 两式相减得F(b)-F(a)=F’(x0)(b-a)+[*][F’’’’(ξ1)+F’’’’(ξ2)]，即 ∫abf(x)dx=(b-a)[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]， 因为f’’(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得 f’’(ξ)=[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]，从而 ∫abf(x)dx=[*]
解析
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考研数学一

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