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设f(x)在区间[a,b].上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得
设f(x)在区间[a,b].上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得
admin
2022-10-27
13
问题
设f(x)在区间[a,b].上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x
0
=[*],由泰勒公式得F(a)=F(x
0
)+F’(x
0
)(a-x
0
)+[*]-(a-x
0
)
2
+[*]-(a-x
0
)
3
,ξ
1
∈(a,x
0
), F(b)=F(x
0
)+F’(x
0
)(b-x
0
)+[*]-(b-x
0
)
2
+[*]-(b-x
0
)
3
,ξ
1
∈(b,x
0
), 两式相减得F(b)-F(a)=F’(x
0
)(b-a)+[*][F’’’’(ξ
1
)+F’’’’(ξ
2
)],即 ∫
a
b
f(x)dx=(b-a)[*][f’’(ξ
1
)+f’’(ξ
2
)], 因为f’’(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得 f’’(ξ)=[*][f’’(ξ
1
)+f’’(ξ
2
)],从而 ∫
a
b
f(x)dx=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yUe4777K
0
考研数学一
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