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(2000年试题,九)已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x),其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且F(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的
(2000年试题,九)已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x),其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且F(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的
admin
2019-06-09
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问题
(2000年试题,九)已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x),其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且F(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
选项
答案
题设要求的是切线方程,因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可,由已知f(x)是周期为5的连续函数,因而求f
’
(6)及f(6)就等价于求f
’
(1)及f(1),由关系式[*]再根据导数的定义,有[*]其中f(1)可由下述步骤确定:在原关系式中令x→0并结合f(x)的连续性可得f(1)一3f(1)=0,即f(1)=0,则由[*][*]=f
’
(1)+3f
’
(1)=4f
’
(1)因此f
’
(1)=2,由周期性知f
’
(6)=.f
’
(1)=2,f(6)=f(1)=0,所以待求切线方程为y=2(x一6),即2x一y—12=0[评注]由于只知道f(x)连续,且在x=1处可导,所以其在x=6处的导数不能直接套用公式f
’
(x+T)=f
’
(x),而得由导数的定义求得.
解析
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考研数学二
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