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设线性方程组为 (1)讨论a1,a2,a3,a4取值对解的情况的影响. (2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程组的通解.
设线性方程组为 (1)讨论a1,a2,a3,a4取值对解的情况的影响. (2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程组的通解.
admin
2018-06-27
81
问题
设线性方程组为
(1)讨论a
1
,a
2
,a
3
,a
4
取值对解的情况的影响.
(2)设a
1
=a
3
=k,a
2
=a
4
=-k(k≠0),并且(-1,1,1)
T
和(1,1,-1)
T
都是解,求此方程组的通解.
选项
答案
(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式,其值等于 [*] =(a
2
-a
1
)(a
3
-a
1
)(a
4
-a
1
)(a
3
-a
2
)(a
4
-a
2
)(a
4
-a
3
). 于是,当a
1
,a
2
,a
3
,a
4
两两不同时,增广矩阵的行列式不为0,秩为4,而系数矩阵的秩为3.因此,方程组无解. 如果a
1
,a
2
,a
3
,a
4
不是两两不同,则相同参数对应一样的方程.于是只要看有几个不同,就只留下几个方程. ①如果有3个不同,不妨设a
1
,a
2
,a
3
两两不同,a
4
等于其中之一,则可去掉第4个方程,得原方程组的同解方程组 [*] 它的系数矩阵是范德蒙行列式,值等于(a
1
-a
2
)(a
3
-a
1
)(a
3
-a
2
)≠0,因此方程组有唯一解. ②如果不同的少于3个,则只用留下2个或1个方程,此时方程组无穷多解. (2)此时第3,4两个方程分别就是第1,2方程,可抛弃,得 [*] (-1,1,1)
T
和(1,1,-1)
T
都是解,它们的差(-2,0,2)
T
是导出组的一个非零解.本题未知数个数为3,而系数矩阵 [*] 的秩为2(注意k≠0).于是(-2,0,2)
T
构成导出组的基础解系,通解为: (-1,1,1)
T
+c(-2,0,2)
T
,c可取任意常数.
解析
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考研数学二
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