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设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，求此方程组的通解．
设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，求此方程组的通解．
admin
2018-06-27
109
问题
设线性方程组为
(1)讨论a
1
，a
2
，a
3
，a
4
取值对解的情况的影响．
(2)设a
1
=a
3
=k，a
2
=a
4
=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)
T
和(1，1，-1)
T
都是解，求此方程组的通解．
选项
答案
(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于 [*] =(a
2
-a
1
)(a
3
-a
1
)(a
4
-a
1
)(a
3
-a
2
)(a
4
-a
2
)(a
4
-a
3
)． 于是，当a
1
，a
2
，a
3
，a
4
两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解． 如果a
1
，a
2
，a
3
，a
4
不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程． ①如果有3个不同，不妨设a
1
，a
2
，a
3
两两不同，a
4
等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组 [*] 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a
1
-a
2
)(a
3
-a
1
)(a
3
-a
2
)≠0，因此方程组有唯一解． ②如果不同的少于3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组无穷多解． (2)此时第3，4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得 [*] (-1，1，1)
T
和(1，1，-1)
T
都是解，它们的差(-2，0，2)
T
是导出组的一个非零解．本题未知数个数为3，而系数矩阵 [*] 的秩为2(注意k≠0)．于是(-2，0，2)
T
构成导出组的基础解系，通解为： (-1，1，1)
T
+c(-2，0，2)
T
，c可取任意常数.
解析
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