2. 考研
  3. 设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，求此方程组的通解．

设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，求此方程组的通解．

admin2018-06-27  149
问题 设线性方程组为

(1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响．
(2)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，求此方程组的通解．
选项
答案(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于 [*] =(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)． 于是，当a1，a2，a3，a4两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解． 如果a1，a2，a3，a4不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程． ①如果有3个不同，不妨设a1，a2，a3两两不同，a4等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组 [*] 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a1-a2)(a3-a1)(a3-a2)≠0，因此方程组有唯一解． ②如果不同的少于3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组无穷多解． (2)此时第3，4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得 [*] (-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，它们的差(-2，0，2)T是导出组的一个非零解．本题未知数个数为3，而系数矩阵 [*] 的秩为2(注意k≠0)．于是(-2，0，2)T构成导出组的基础解系，通解为： (-1，1，1)T+c(-2，0，2)T，c可取任意常数.
解析
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考研数学二

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