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试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件． (1)二元函数的极限f(x，y)存在； (2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界； (3)f(x0，y)=f(x0
试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件． (1)二元函数的极限f(x，y)存在； (2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界； (3)f(x0，y)=f(x0
admin
2016-06-25
48
问题
试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微的充分条件还是必要条件．
(1)二元函数的极限
f(x，y)存在；
(2)二元函数z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)的某个邻域内有界；
(3)
f(x
0
，y)=f(x
0
，y
0
)；
(4)F(x)=f(x，y
0
)在点x
0
处可微，G(y)=f(x
0
，y)在点y
0
处可微；
(5)
[f’
y
(x
0
，y)一f’
y
(x
0
，y
0
)=0；
(6)
=0．
选项
答案
结论(1)～(4)中每一个分别都是z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微的必要条件，而非充分条件．而结论(6)是其充分非必要条件． 因z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微，故z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处连续，即[*]f(x，y)必存在，于是z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)某邻域有界． 结论(3)表示一元函数F(x)=f(x，y
0
)在x
0
处连续，G(y)=f(x
0
，y)在y
0
处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点P
0
(x，y
0
)处连续的必要条件，而非充分条件．而z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件． 只要在z=f(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)的全微分定义 △z=A△x+B△y+o(ρ)，ρ=[*] 中取特殊情况，分别令△y=0与△x=0，即证得结论(4)． 结论(5)的[*][f’
x
(x，y
0
)一f’
x
(x
0
，y
0
)]=0表示偏导函数f’
x
(x，y)在y=y
0
时的一元函数 f’
x
(x，y
0
)在x
0
处连续，它仅是二元偏导函数f’
x
(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的一个必要条件，对[*][f’
y
(x
0
，y)一f’
y
(x
0
，y
0
)]=0有类似的结果．而z=f(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)处可微又是f’
x
(x，y)，f’
y
(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件又是非必要条件． 结论(6)的等价形式是 △z=f(x，y)一f(x
0
，y
0
)=o(ρ)， ρ=[*]， 它是相应全微分定义中A=0，B=0的情形，则结论(6)是其可微的充分非必要条件．
解析
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0
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