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试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微的充分条件还是必要条件. (1)二元函数的极限f(x,y)存在; (2)二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有界; (3)f(x0,y)=f(x0
试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微的充分条件还是必要条件. (1)二元函数的极限f(x,y)存在; (2)二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有界; (3)f(x0,y)=f(x0
admin
2016-06-25
120
问题
试分析下列各个结论是函数z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处可微的充分条件还是必要条件.
(1)二元函数的极限
f(x,y)存在;
(2)二元函数z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)的某个邻域内有界;
(3)
f(x
0
,y)=f(x
0
,y
0
);
(4)F(x)=f(x,y
0
)在点x
0
处可微,G(y)=f(x
0
,y)在点y
0
处可微;
(5)
[f’
y
(x
0
,y)一f’
y
(x
0
,y
0
)=0;
(6)
=0.
选项
答案
结论(1)~(4)中每一个分别都是z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处可微的必要条件,而非充分条件.而结论(6)是其充分非必要条件. 因z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处可微,故z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处连续,即[*]f(x,y)必存在,于是z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)某邻域有界. 结论(3)表示一元函数F(x)=f(x,y
0
)在x
0
处连续,G(y)=f(x
0
,y)在y
0
处连续,它是二元函数z=f(x,y)在点P
0
(x,y
0
)处连续的必要条件,而非充分条件.而z=f(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)处连续又是其可微的必要条件,且非充分条件. 只要在z=f(x,y)在P
0
(x
0
,y
0
)的全微分定义 △z=A△x+B△y+o(ρ),ρ=[*] 中取特殊情况,分别令△y=0与△x=0,即证得结论(4). 结论(5)的[*][f’
x
(x,y
0
)一f’
x
(x
0
,y
0
)]=0表示偏导函数f’
x
(x,y)在y=y
0
时的一元函数 f’
x
(x,y
0
)在x
0
处连续,它仅是二元偏导函数f’
x
(x,y)在P
0
(x
0
,y
0
)处连续的一个必要条件,对[*][f’
y
(x
0
,y)一f’
y
(x
0
,y
0
)]=0有类似的结果.而z=f(x,y)在P
0
(x
0
,y
0
)处可微又是f’
x
(x,y),f’
y
(x,y)在P
0
(x
0
,y
0
)处连续的另一个必要条件,所以结论(5)既不是充分条件又是非必要条件. 结论(6)的等价形式是 △z=f(x,y)一f(x
0
,y
0
)=o(ρ), ρ=[*], 它是相应全微分定义中A=0,B=0的情形,则结论(6)是其可微的充分非必要条件.
解析
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0
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