2. 考研
  3. 设f(x)在[1，6]上连续，在(1，6)内可导，且f(1)=5，f(5)=1，f(6)=12．证明：在(1，6)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)+f(ξ)一2ξ=2．

设f(x)在[1，6]上连续，在(1，6)内可导，且f(1)=5，f(5)=1，f(6)=12．证明：在(1，6)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)+f(ξ)一2ξ=2．

admin2021-01-30  59
问题 设f(x)在[1，6]上连续，在(1，6)内可导，且f(1)=5，f(5)=1，f(6)=12．证明：在(1，6)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)+f(ξ)一2ξ=2．
选项
答案构造辅助函数F(x)=ex(f(x)-2x)，则有 F(1)=e[f(1)一2]＞0， F(5)=e5[f(5)一10]＜0， 显然F(x)在[1，5]上连续，由零点定理可知，至少存在一点η∈(1，5)，使得F(η)=0．又因为F(x)在[η，6]上连续，在(η，6)内可导，且F(6)=e6[f(6)一12]=0=F(η)，因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(η，6)[*](1，6)，使得F′(ξ)=0．而 F′(x)=ex(f(x)-2x)+ex(f′(x)一2)=ex(f(x)一2x+f′(x)一2)，因此有f(ξ)-2ξ+f(ξ)-2=0，从而结论得证．
解析
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考研数学三

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