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设A为n×m实矩阵,且秩r(A)=n,考虑以下命题: ①AAT的行列式|AAT|≠0; ②AAT必与n阶单位矩阵等价; ③AAT必与一个对角矩阵相似; ④AAT必与n阶单位矩阵合同,其中正确的命题数为
设A为n×m实矩阵,且秩r(A)=n,考虑以下命题: ①AAT的行列式|AAT|≠0; ②AAT必与n阶单位矩阵等价; ③AAT必与一个对角矩阵相似; ④AAT必与n阶单位矩阵合同,其中正确的命题数为
admin
2016-01-23
107
问题
设A为n×m实矩阵,且秩r(A)=n,考虑以下命题:
①AA
T
的行列式|AA
T
|≠0; ②AA
T
必与n阶单位矩阵等价;
③AA
T
必与一个对角矩阵相似; ④AA
T
必与n阶单位矩阵合同,其中正确的命题数为
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
D
解析
本题主要考查矩阵的三大关系一一等价、相似、合同,求解的关键是要清楚矩阵秩的结论r(A)=r(AA
T
)=r(A
T
A).
解:显然AA
T
为n阶矩阵.由条件可知r(AA
T
)=R(A)=n,故①,②正确.
由于AA
T
是实对称矩阵,所以必可相似对角化,从而③正确.
因AA
T
的秩为n,故二次型x
T
AA
T
x的秩为n,从而x
T
AA
T
x=(A
T
x)
T
(A
T
x)>0,
即x
T
AA
T
x是正定二次型,故AA
T
与n阶单位矩阵合同,④也正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qxw4777K
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考研数学一
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