设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AAT｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

admin2016-01-23 67

问题设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题：
①AA^T的行列式｜AA^T｜≠0； ②AA^T必与n阶单位矩阵等价；
③AA^T必与一个对角矩阵相似； ④AA^T必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析本题主要考查矩阵的三大关系一一等价、相似、合同，求解的关键是要清楚矩阵秩的结论r(A)=r(AA^T)=r(A^TA)．
解：显然AA^T为n阶矩阵．由条件可知r(AA^T)=R(A)=n，故①，②正确．
由于AA^T是实对称矩阵，所以必可相似对角化，从而③正确．
因AA^T的秩为n，故二次型x^TAA^Tx的秩为n，从而x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)＞0，
即x^TAA^Tx是正定二次型，故AA^T与n阶单位矩阵合同，④也正确．

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考研数学一

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设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AAT｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

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