2. 考研
  3. 设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AAT｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AAT｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

admin2016-01-23  107
问题 设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题：
①AAT的行列式｜AAT｜≠0；    ②AAT必与n阶单位矩阵等价；
③AAT必与一个对角矩阵相似；    ④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 本题主要考查矩阵的三大关系一一等价、相似、合同，求解的关键是要清楚矩阵秩的结论r(A)=r(AAT)=r(ATA)．
    解：显然AAT为n阶矩阵．由条件可知r(AAT)=R(A)=n，故①，②正确．
    由于AAT是实对称矩阵，所以必可相似对角化，从而③正确．
    因AAT的秩为n，故二次型xTAATx的秩为n，从而xTAATx=(ATx)T(ATx)＞0，
即xTAATx是正定二次型，故AAT与n阶单位矩阵合同，④也正确．
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考研数学一

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