设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AAT｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

admin2016-01-23 62

问题设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题：
①AA^T的行列式｜AA^T｜≠0； ②AA^T必与n阶单位矩阵等价；
③AA^T必与一个对角矩阵相似； ④AA^T必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析本题主要考查矩阵的三大关系一一等价、相似、合同，求解的关键是要清楚矩阵秩的结论r(A)=r(AA^T)=r(A^TA)．
解：显然AA^T为n阶矩阵．由条件可知r(AA^T)=R(A)=n，故①，②正确．
由于AA^T是实对称矩阵，所以必可相似对角化，从而③正确．
因AA^T的秩为n，故二次型x^TAA^Tx的秩为n，从而x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)＞0，
即x^TAA^Tx是正定二次型，故AA^T与n阶单位矩阵合同，④也正确．

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考研数学一

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设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题： ①AAT的行列式｜AAT｜≠0； ②AAT必与n阶单位矩阵等价； ③AAT必与一个对角矩阵相似； ④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

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设A=(1)若ai≠aj(i≠j)，求ATX=b的解；(2)若a1=a2=a3≠0，a2=a4=-a，求ATX=b的通解．

设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，则下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是()．

设f(x)二阶可导，且f"(x)＞0，证明：当x≠0时，f(x)＞x.

求z=x2+12xy+2y2在区域4x2+y2≤25上的最值。

设齐次线性方程组,其中ab≠0,n≥2,讨论a,b取何值时，方程组只有零解，有无穷多个解？在有无穷多个解时求出其通解。

设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是()。

设平面区域D={(x，y)｜1/4≤x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，记则()

已知矩阵A=只有两个线性无关的特征向量，则A的三个特征值是，a=．

设非负连续型随机变量X服从指数分布，证明对任意实数r和S，有P{X>r+s|X>s}=P{X>r}．

表示命令、请求、禁止、劝阻的句子是_____。

患者，男性，36岁。继发性腹膜炎入院，其发病原因除外

A．1．5～2．5gB．±10％C．1．95～2．05gD．百分之一E．千分之一称取“2g”指称取重量可为

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根据《票据法》的规定，汇票上可以记载非法定事项。下列各项中，属于非法定记载事项的是()。

下图是“我国30°N植被叶面积指数变化示意图(叶面积指数是指单位土地面积上植物叶片总面积占土地面积的倍数)”。我国110°E以东地区植被叶面积指数变化，反映的地域分异规律主要是()。

下列各句在表达上没有语病的一句是（）。

18世纪，经济上落后的法国在哲学上和政治思想领域方面取得的成就，超过了当时经济上先进的英国，这表明()

一个字符的标准ASCII码码长是()。

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