设矩阵A=,B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。

admin2019-01-19  37

问题 设矩阵A=,B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。

选项

答案设A的特征值为λ,对应特征向量为η,则有Aη=λη。由于|A|=7≠0,所以λ≠0。 又因A*A=|A|E,故有A*η=[*]η。于是有 B(P-1η)=P-1A*P(P-1η)=[*](P-1η), (B+2E)P-1η=([*]+2)P-1η。 因此,[*]+2为B+2E的特征值,对应的特征向量为P-1η。 由于 |λE一A|=[*]=(λ一1)2(λ一7), 故A的特征值为λ12=1,λ3=7。 当λ12=1时,对应的线性无关的两个特征向量可取为η1=[*]。 当λ3=7时,对应的一个特征向量可取为η3=[*]。 由P-1=[*],得P-1η1=[*]。 因此,B+2E的三个特征值分别为9,9,3。 对应于特征值9的全部特征向量为 KP-1η1+k2P-1η2=k1[*],其中k1,k2是不全为零的任意常数; 对应于特征值3的全部特征向量为 k3P-1η3=k3[*],其中k3是不为零的任意常数。

解析
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