2. 考研
  3. 设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

admin2019-01-19  58
问题 设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。
选项
答案设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη=λη。由于|A|=7≠0，所以λ≠0。 又因A*A=|A|E，故有A*η=[*]η。于是有 B(P-1η)=P-1A*P(P-1η)=[*](P-1η)， (B+2E)P-1η=([*]+2)P-1η。 因此，[*]+2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P-1η。 由于 |λE一A|=[*]=(λ一1)2(λ一7)， 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。 当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为η1=[*]。 当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为η3=[*]。 由P-1=[*]，得P-1η1=[*]。 因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。 对应于特征值9的全部特征向量为 KP-1η1+k2P-1η2=k1[*]，其中k1，k2是不全为零的任意常数； 对应于特征值3的全部特征向量为 k3P-1η3=k3[*],其中k3是不为零的任意常数。
解析
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考研数学三

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