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设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.试证: 若f(x)单调不增,则F(x)单调不减。
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.试证: 若f(x)单调不增,则F(x)单调不减。
admin
2022-09-05
44
问题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且F(x)=∫
0
x
(x-2t)f(t)dt.试证:
若f(x)单调不增,则F(x)单调不减。
选项
答案
F’(x)=[x∫
0
x
f(t)dt-2∫
0
x
tf(t)dt]’=∫
0
x
f(t)dt+xf(x)-2xf(x) =∫
0
x
f(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)] 其中ξ介于0与x之间 由已知条件f(x)单调不增,则当x>0时,f(ξ)-f(x)≥0,故F’(x)≥0; 当x=0时,显然F’(x)=0 当x<0时,f(ξ)-f(x)≤0,故F’(x)≥0,即x∈(-∞,+∞)时,F’(x)≥0. 于是若f(x)单调不增,则F(x)单调不减。
解析
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0
考研数学三
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