设函数f(x)在(－∞,+∞)内连续，且F(x)=∫0x(x－2t)f(t)dt.试证：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减。

admin2022-09-05 43

问题设函数f(x)在(－∞,+∞)内连续，且F(x)=∫₀^x(x－2t)f(t)dt.试证：
若f(x)单调不增，则F(x)单调不减。

选项

答案F’(x)=[x∫₀^xf(t)dt－2∫₀^xtf(t)dt]’=∫₀^xf(t)dt+xf(x)－2xf(x) =∫₀^xf(t)dt－xf(x)=x[f(ξ)－f(x)] 其中ξ介于0与x之间由已知条件f(x)单调不增，则当x＞0时，f(ξ)－f(x)≥0,故F’(x)≥0；当x=0时，显然F’(x)=0 当x＜0时，f(ξ)－f(x)≤0,故F’(x)≥0,即x∈（－∞，+∞)时，F’（x)≥0. 于是若f(x)单调不增，则F(x)单调不减。

解析

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考研数学三

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