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[2005年] 设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明对任何a∈[0,1],有
[2005年] 设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明对任何a∈[0,1],有
admin
2019-03-30
68
问题
[2005年] 设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明对任何a∈[0,1],有
选项
答案
证一 用常数变易法将待证的不等式中的常数a一律换为x,构造辅助函数 [*] 下面证F(x)单调递减.为此证F’(x)≤0,且F(1)=0,则F(z)对任意a∈[0,1],均有F(a)≥0,从而不等式①得到证明. 事实上由题设知,F(x)的导数连续,且 F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]. 由于x∈[0,1]时,f’(x)≥0,g’(x)≥0,有g(x)
解析
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考研数学三
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