设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明r(A)≤2。

admin2019-05-11 31

问题设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别为α，β的转置。证明r(A)≤2。

选项

答案方法一：r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤r(α)+r(β)≤2。方法二：因为A=αα^T+ββ^T，A为3×3矩阵，所以r(A)≤3。因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得 α^Tξ=0，β^Tξ=0，于是 Aξ=αα^Tξ+ββ^Tξ=0，所以Ax=0有非零解，从而r(A)≤2。

解析

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