2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．

设f(x)在[a，b上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．

admin2021-10-18  30
问题 设f(x)在[a，b上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．
选项
答案对任意的x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，取x0=(x1+x2)/2，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f"(ξ)/2!(x-x0)2，其中ξ介于x0与x之间．因为f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)，“=”成立当且仅当“x=x0”，从而[*]两式相加得f(x0)＜[f(x1)+f(x2)]/2，即f(x1+x2/2)＜[f(x1)+f(x2)]/2，由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数．
解析
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考研数学二

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