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求证:当χ>0时不等式(1+χ)ln2(1+χ)<χ2成立.
求证:当χ>0时不等式(1+χ)ln2(1+χ)<χ2成立.
admin
2018-11-11
45
问题
求证:当χ>0时不等式(1+χ)ln
2
(1+χ)<χ
2
成立.
选项
答案
令f(χ)=χ
2
-(1+χ)ln
2
(1+χ),则有f(0)=0, f′(χ)=2χ-ln
2
(1+χ)-2ln(1+χ),f′(0)=0, f〞(χ)=2-2[*][χ-ln(1+χ)],f〞(0)=0, f″′(χ)=[*], f″′(0)=0. 于是f〞(χ)当χ≥0时单调增加,又f〞(0)=0,所以当χ>0时,f〞(χ)>f〞(0)=0.从而f′(χ)当χ≥0时单调增加,又f′(0)=0,故当χ>0时f′(χ)>f′(0)=0.因此f(χ)当χ≥0时单调增加,又f(0)=0,所以当χ>0时f(χ)>f(0)=0.原不等式得证.
解析
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考研数学二
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