设在[1，+∞)上处处有f”(x)＜0，且f(1)=2,f’(1)=一3，证明：在(1，+∞)内方程f(x)=0仅有一个实根．

admin2016-01-11 49

问题设在[1，+∞)上处处有f”(x)＜0，且f(1)=2,f’(1)=一3，证明：在(1，+∞)内方程f(x)=0仅有一个实根．

选项

答案将函数f(x)在x=1处展开为一阶泰勒公式，得 [*] 由题设f”(x)＜0，知[*]于是 f(x)＜2—3(x一1)=5—3x．取[*],f(x₀)＜0，又f(1)=2＞0，由介值定理知，存在η∈(1，x₀)[*](1，+∞)，使得f(η)=0，即方程f(x)=0在(1，+∞)内有实根存在．由于f”(x)＜0，[*]∈(1，+∞)，所以f’(x)单调减少，于是f’(x)≤f’(1)=一3，即当x≥1时,f’(x)＜0，f(x)单调减少，故方程f(x)=0在(1，+∞)内只有一个实根．

解析

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