设随机变量X和Y独立，并且都服从正态分布N(μ，σ2)，求随机变量Z=min(X，Y)的数学期望．

admin2019-01-23 53

问题设随机变量X和Y独立，并且都服从正态分布N(μ，σ²)，求随机变量Z=min(X，Y)的数学期望．

选项

答案设U=(X－μ)／σ，V=(Y－μ)／σ，有 Z=min{σU+μ，σV+μ}=σmin{U，V}+μ． U和V服从标准正态分布N(0，1)，其联合密度为 [*] 由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图4．4) [*] Emin{U，V}=∫_－∞^+∞∫_－∞^+∞min{u，v}φ(u，v)dudv [*] 在上面的积分中作换元：设 [*] EZ=Emin{X，Y}=σEmin{U，V}+μ=μ－[*] 同样可以求得Emax{X，Y}=μ+[*]

解析

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