设f(χ)连续且=2,φ(χ)=∫01f(χt)dt,求φ′(χ)并讨论φ(χ)的连续性.

admin2016-10-21  16

问题 设f(χ)连续且=2,φ(χ)=∫01f(χt)dt,求φ′(χ)并讨论φ(χ)的连续性.

选项

答案φ(χ)的表达式中,积分号内含参变量χ,通过变量替换转化成变限积分. χ≠0时,φ(χ)=[*]∫0χf(s)ds;χ=0时,φ(0)=∫01f(0)dt=f(0). 由f(χ)在χ=0连续及[*]=2,则f(0)=[*]=2×0=0. 因此φ(χ)=[*] 求φ′(χ)即求这个分段函数的导数,χ≠0时与变限积分求导有关,χ=0时可按定义求导. [*] 最后考察φ′(χ)的连续性.显然,χ≠0时φ′(χ)连续,又 [*] 即φ′(χ)在χ=0也连续,因此φ′(χ)处处连续.

解析
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