设f(χ)连续且＝2，φ(χ)＝∫01f(χt)dt，求φ′(χ)并讨论φ(χ)的连续性．

admin2016-10-21 37

问题设f(χ)连续且

＝2，φ(χ)＝∫₀¹f(χt)dt，求φ′(χ)并讨论φ(χ)的连续性．

选项

答案φ(χ)的表达式中，积分号内含参变量χ，通过变量替换转化成变限积分． χ≠0时，φ(χ)＝[*]∫₀^χf(s)ds；χ＝0时，φ(0)＝∫₀¹f(0)dt＝f(0)．由f(χ)在χ＝0连续及[*]＝2，则f(0)＝[*]＝2×0＝0．因此φ(χ)＝[*] 求φ′(χ)即求这个分段函数的导数，χ≠0时与变限积分求导有关，χ＝0时可按定义求导． [*] 最后考察φ′(χ)的连续性．显然，χ≠0时φ′(χ)连续，又 [*] 即φ′(χ)在χ＝0也连续，因此φ′(χ)处处连续．

解析

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