已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．

admin2019-06-04 39

问题已知向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．

选项 A、α₁+α₂，α₂一α₃，α₃一α₄，α₄+α₁
B、α₁+α₂，α₁—2α₃，α₁+α₂一α₃，5α₂+α₃
C、α₁+α₂+α₃，α₁一α₂+α₃，α₁+3α₂+9α₃
D、α₁+α₃，α₂+2α₃+α₄，α₁+2α₃+α₄，α₂+3α₃+2α₄

答案C

解析因为
(α₁+α₂)一(α₂一α₃)一(α₃一α₄)一(α₄+α₁)=0，
所以向量组(A)线性相关．
若令
β₁=α₁+α₂，β₂=α₁—2α₃，β₃=α₁+α₂—α₃，β_i=5α₂+α₃．
则β₁，β₂，β₃，β₄可由α₁，α₂，α₃线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示，因此β₁，β₂，β₃，β₄线性相关，即向量组(B)线性相关．
关于(C)，由α₁，α₂，α₃，α₄线性无关知，α₁，α₂，α₃线性无关．若令
β₁=α₁+α₂+α₃， β₂=α₁－α₂+α₃， β₃=α₁+3α₂+9α₃，
则 [β₁，β₂，β₃]=[α₁，α₂，α₃]

因为

是范德蒙行列式，不为0，所以
r(β₁，β₂，β₃)=r(α₁，α₂，α₃)=3，
即向量组(C)线性无关，故仅(C)入选．因
[α₁+α₃，α₂+2α₃+α₄，α₁+2α₃+α₄，α₂+3α₃+2α₄]
=[α₁，α₂，α₃，α₄]

而右边行列式等于0，故(D)中向量组线性相关．

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