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已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).
已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).
admin
2019-06-04
59
问题
已知向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).
选项
A、α
1
+α
2
,α
2
一α
3
,α
3
一α
4
,α
4
+α
1
B、α
1
+α
2
,α
1
—2α
3
,α
1
+α
2
一α
3
,5α
2
+α
3
C、α
1
+α
2
+α
3
,α
1
一α
2
+α
3
,α
1
+3α
2
+9α
3
D、α
1
+α
3
,α
2
+2α
3
+α
4
,α
1
+2α
3
+α
4
,α
2
+3α
3
+2α
4
答案
C
解析
因为
(α
1
+α
2
)一(α
2
一α
3
)一(α
3
一α
4
)一(α
4
+α
1
)=0,
所以向量组(A)线性相关.
若令
β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
1
—2α
3
,β
3
=α
1
+α
2
—α
3
,β
i
=5α
2
+α
3
.
则β
1
,β
2
,β
3
,β
4
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即多数向量可由少数向量线性表示,因此β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性相关,即向量组(B)线性相关.
关于(C),由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关知,α
1
,α
2
,α
3
线性无关.若令
β
1
=α
1
+α
2
+α
3
, β
2
=α
1
-α
2
+α
3
, β
3
=α
1
+3α
2
+9α
3
,
则 [β
1
,β
2
,β
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
因为
是范德蒙行列式,不为0,所以
r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,
即向量组(C)线性无关,故仅(C)入选.因
[α
1
+α
3
,α
2
+2α
3
+α
4
,α
1
+2α
3
+α
4
,α
2
+3α
3
+2α
4
]
=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]
而右边行列式等于0,故(D)中向量组线性相关.
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