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已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．
已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．
admin
2019-06-04
55
问题
已知向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．
选项
A、α
1
+α
2
，α
2
一α
3
，α
3
一α
4
，α
4
+α
1
B、α
1
+α
2
，α
1
—2α
3
，α
1
+α
2
一α
3
，5α
2
+α
3
C、α
1
+α
2
+α
3
，α
1
一α
2
+α
3
，α
1
+3α
2
+9α
3
D、α
1
+α
3
，α
2
+2α
3
+α
4
，α
1
+2α
3
+α
4
，α
2
+3α
3
+2α
4
答案
C
解析
因为
(α
1
+α
2
)一(α
2
一α
3
)一(α
3
一α
4
)一(α
4
+α
1
)=0，
所以向量组(A)线性相关．
若令
β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
1
—2α
3
，β
3
=α
1
+α
2
—α
3
，β
i
=5α
2
+α
3
．
则β
1
，β
2
，β
3
，β
4
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示，因此β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性相关，即向量组(B)线性相关．
关于(C)，由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关知，α
1
，α
2
，α
3
线性无关．若令
β
1
=α
1
+α
2
+α
3
， β
2
=α
1
－α
2
+α
3
， β
3
=α
1
+3α
2
+9α
3
，
则 [β
1
，β
2
，β
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
因为
是范德蒙行列式，不为0，所以
r(β
1
，β
2
，β
3
)=r(α
1
，α
2
，α
3
)=3，
即向量组(C)线性无关，故仅(C)入选．因
[α
1
+α
3
，α
2
+2α
3
+α
4
，α
1
+2α
3
+α
4
，α
2
+3α
3
+2α
4
]
=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]
而右边行列式等于0，故(D)中向量组线性相关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zQc4777K
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