已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).

admin2019-06-04  22

问题 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是(    ).

选项 A、α12,α2一α3,α3一α4,α41
B、α12,α1—2α3,α12一α3,5α23
C、α123,α1一α23,α1+3α2+9α3
D、α13,α2+2α34,α1+2α34,α2+3α3+2α4

答案C

解析 因为
12)一(α2一α3)一(α3一α4)一(α41)=0,
所以向量组(A)线性相关.
若令  
β112,β21—2α3,β312—α3,βi=5α23
则β1,β2,β3,β4可由α1,α2,α3线性表示,即多数向量可由少数向量线性表示,因此β1,β2,β3,β4线性相关,即向量组(B)线性相关.
关于(C),由α1,α2,α3,α4线性无关知,α1,α2,α3线性无关.若令
β1123,  β21-α23, β31+3α2+9α3
则    [β1,β2,β3]=[α1,α2,α3]
因为是范德蒙行列式,不为0,所以
r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3)=3,
即向量组(C)线性无关,故仅(C)入选.因
13,α2+2α34,α1+2α34,α2+3α3+2α4]
=[α1,α2,α3,α4]
而右边行列式等于0,故(D)中向量组线性相关.
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