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设a=(a1,a2,…,an)T,a1≠0,A=aaT. 求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.
设a=(a1,a2,…,an)T,a1≠0,A=aaT. 求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.
admin
2020-11-13
33
问题
设a=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,a
1
≠0,A=aa
T
.
求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.
选项
答案
因为A的非零特征值为λ
2
=[*]‖a‖
2
下面求A的n个线性无关的特征向量. 当λ
1
=0时,解Ax=0,由 [*] 解得对应于特征值λ=0的一组线性无关特征向量为 [*] 当λ=[*]时,计算对应的特征向量ξ
n
: 方法一:由矩阵乘法的结合律可得:Aa=aa
T
a=(a
T
a)a,故a是A的对应于特征值a
T
a即λ
2
的特征向量.又已知λ
2
是A的特征方程的单根,所以ka即为A的对应于特征值λ
2
的全部特征向量.所以ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-1
,a即为A的n个线性无关的特征向量. 方法二:设x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
是对应λ
2
的某一特征向量,则由A为对称矩阵可得ξ
i
T
x=0(i=1,2,…,n一1),因R(ξ
1
,ξ
n-1
)=n一1,故此线性方程组的基础解系含1个解向量, 而令x
1
=1可得x
i
=[*](i=2,3,…,n). 所以x=[*]即为A的对应于特征值λ
2
的特征向量. 故ξ
1
,…,ξ
n-1
,x即为A的一组线性无关的特征向量. 方法三: A一λ
2
E=[*] 故可得(A—λ
2
E)x=0的解为{k(a
1
,…,a
n
)
T
|k∈R),故a=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
是A的对应于特征值λ
2
的特征向量.所以ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-1
,a即为A的n个线性无关的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zRx4777K
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考研数学三
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