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  3. 设a=(a1，a2，…，an)T，a1≠0，A=aaT． 求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

设a=(a1，a2，…，an)T，a1≠0，A=aaT． 求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

admin2020-11-13  19
问题 设a=(a1，a2，…，an)T，a1≠0，A=aaT．
求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．
选项
答案因为A的非零特征值为λ2=[*]‖a‖2下面求A的n个线性无关的特征向量． 当λ1=0时，解Ax=0，由 [*] 解得对应于特征值λ=0的一组线性无关特征向量为 [*] 当λ=[*]时，计算对应的特征向量ξn： 方法一：由矩阵乘法的结合律可得：Aa=aaTa=(aTa)a，故a是A的对应于特征值aTa即λ2的特征向量．又已知λ2是A的特征方程的单根，所以ka即为A的对应于特征值λ2的全部特征向量．所以ξ1，ξ2，…，ξn-1，a即为A的n个线性无关的特征向量． 方法二：设x=(x1，x2，…，xn)T是对应λ2的某一特征向量，则由A为对称矩阵可得ξiTx=0(i=1，2，…，n一1)，因R(ξ1，ξn-1)=n一1，故此线性方程组的基础解系含1个解向量， 而令x1=1可得xi=[*](i=2，3，…，n)． 所以x=[*]即为A的对应于特征值λ2的特征向量． 故ξ1，…，ξn-1，x即为A的一组线性无关的特征向量． 方法三： A一λ2E=[*] 故可得(A—λ2E)x=0的解为{k(a1，…，an)T｜k∈R)，故a=(a1，a2，…，an)T是A的对应于特征值λ2的特征向量．所以ξ1，ξ2，…，ξn-1，a即为A的n个线性无关的特征向量．
解析
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考研数学三

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