2. 考研
  3. 求f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．

求f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．

admin2020-03-05  15
问题 求f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．
选项
答案这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值． 首先求f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D内部的极值： [*] 又 g(x，y)=(fxy’’)2－fxx’’fyy’’=－3，fxx’’＜0， 得f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D内部的极大值 [*] 再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件． 在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x+xy－x2－y2+λy， 解方程组 [*] 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下面边界的最大值为[*]，最小值为0． 同理可求出： 在上面边界上的最大值为－2，最小值为－4； 在左面边界上的最大值为0，最小值为－4； 在右面边界上的最大值为[*]，最小值为－2． 比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D上的最大值为[*]，最小值为－4．
解析
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考研数学一

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