2. 考研
  3. 设函数f(x)在(0,+∞)内连续，f(1)=,且对所有x,t∈(0,+∞)，满足条件 ∫0xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du 求f(x).

设函数f(x)在(0,+∞)内连续，f(1)=,且对所有x,t∈(0,+∞)，满足条件 ∫0xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du 求f(x).

admin2022-10-13  25
问题 设函数f(x)在(0,+∞)内连续，f(1)=,且对所有x,t∈(0,+∞)，满足条件
∫0xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du
求f(x).
选项
答案由题意可知，等式的每一项都是x的可导函数，于是等式两边对x进行求导，得 tf(xt)=tf(x)+∫1tf(u)du ① 在①式中，令x=1,由f(1)=[*]得 tf(t)=[*]t+∫1tf(u)du ② 则f(t)是(0,+∞)内的可导函数，②式两边对t求导，得 f(t)+tf’(t)=[*]+f(t),即f’(t)=[*] 上式两边求积分，可得 f(t)=[*]lnt+C 由f(1)=[*],得C=[*],于是f(x)=[*](lnx+1)
解析
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考研数学三

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