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设n阶矩阵A满足(aE—A)(bE—A)=O且a≠b.证明:A可对角化.
设n阶矩阵A满足(aE—A)(bE—A)=O且a≠b.证明:A可对角化.
admin
2018-04-15
43
问题
设n阶矩阵A满足(aE—A)(bE—A)=O且a≠b.证明:A可对角化.
选项
答案
由(aE—A)(bE—A)=0,得|aE—A|.|bE—A|=0,则|aE—A|=0或者|bE—A|=0.又由(aE—A)(bE—A)=0,得r(aE—A)+r(bE—A)≤n. 同时r(aE—A)+r(bE—A)≥r[(aE—A)一(bE—A)]=r[(a一b)E]=n. 所以r(aE—A)+r(bE—A)=n. (1)若|aE—A|≠0,则r(aE—A)=n,所以r(bE—A)=0,故A=bE. (2)若|bE—A|≠0,则r(bE—A)=n,所以r(aE—A)=0,故A=aE. (3)若|aE—A|=0且|bE—A|=0,则a,b都是矩阵A的特征值. 方程组(aE—A)X=0的基础解系含有n~r(aE—A)个线性无关的解向量,即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n一r(aE—A)个; 方程组(bE—A)X=0的基础解系含有n一r(bE—A)个线性无关的解向量,即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n一r(bE—A)个. 因为n一r(aE—A)+n一r(bE—A)=n.所以矩阵A有n个线性无关的特征向量,所以A一定可以对角化.
解析
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考研数学三
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