n维向量组(I)α1,α2，…，αr可以用n维向量组(Ⅱ)β1β2，…，βs线性表示．

admin2017-10-21 27

问题 n维向量组(I)α₁,α₂，…，α_r可以用n维向量组(Ⅱ)β₁β₂，…，β_s线性表示．

选项 A、如果(I)线性无关，则r≤s．
B、如果(I)线性相关，则r＞s．
C、如果(Ⅱ)线性无关，则r≤s．
D、如果(Ⅱ)线性相关，则r＞s．

答案A

解析 C和D容易排除，因为(Ⅱ)的相关性显然不能决定r和s的大小关系的．A是定理3．8的推论的逆否命题．根据该推论，当向量组(I)可以用(Ⅱ)线性表示时，如果r＞s，则(I)线性相关．因此现在(I)线性无关，一定有r≤s．
B则是这个推论的逆命题，是不成立的．
也可用向量组秩的性质(定理3．8)来说明A的正确性：
由于(I)可以用(Ⅱ)线性表示，有
r(I)≤r(Ⅱ)≤s
又因为(I)线性无关，所以r(I)=r．于是r≤s．

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考研数学三

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