设y=y(x)二阶可导,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (Ⅰ)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解.

admin2014-11-26  34

问题 设y=y(x)二阶可导,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
(Ⅰ)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程;
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解.

选项

答案(Ⅰ)[*]代入原方程得y”—y=sinx. (Ⅱ)特征方程为r2一1=0,特征根为r1,2=±1,因为i不是特征值,所以设特解为 y*=acosx+bsinx.代入方程得a=0,b=[*]故[*]于是方程的通解为[*]由初始条件得C1=1,C2=一1,满足初始条件的特解为y=ex一e-x一[*]

解析
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