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n阶矩阵A与B相似的充分条件是( ).
n阶矩阵A与B相似的充分条件是( ).
admin
2020-06-05
32
问题
n阶矩阵A与B相似的充分条件是( ).
选项
A、A
2
与B
2
相似
B、A与B有相同的特征值
C、A与B有相同的特征向量
D、A与B均与对角矩阵A相似
答案
D
解析
对于选项(A),若A与B相似,则有P
﹣1
AP=B,那么P
﹣1
A
2
P=(P
﹣1
AP)(P
﹣1
AP)=B
2
,进而知A
2
与B
2
相似.但A
2
与B
2
相似时,推不出A与B相似.例如A=
,B=
.由于R(A)≠R(B),易见A与B不相似,但A
2
=B
2
,而有A
2
与B
2
相似.因此(A)是必要条件但不是充分条件.
对于选项(B),它也是必要条件而不是充分条件.这是因为由P
﹣1
AP=B,有
|λE-B|=|λE-P
﹣1
AP|=|P
﹣1
(λE-A)P|=|λE-A|
即A,B有相同的特征值.但条件(A)中例子告诉我们虽然A,B有相同特征值λ
1
=λ
2
=0,但A与B是不相似的.
对于选项(C),若p是矩阵A属于特征值λ的特征向量,p是矩阵B属于特征值μ的特征向量,虽然A与B有相同的特征向量,但由于特征值的不同,所以A与B不可能相似.(C)不是充分条件.
对于选项(D),若A与
相似,B与
相似,则有P
1
﹣1
AP
1
=
=P
2
﹣1
BP
2
,那么P
2
P
1
﹣1
AP
1
P
2
﹣1
=B.令P=P
1
P
2
﹣1
,则有P
﹣1
AP=B,即A与B相似.所以(D)是充分条件.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zfv4777K
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考研数学一
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