n阶矩阵A与B相似的充分条件是( )．

admin2020-06-05 42

问题 n阶矩阵A与B相似的充分条件是( )．

选项 A、A²与B²相似
B、A与B有相同的特征值
C、A与B有相同的特征向量
D、A与B均与对角矩阵A相似

答案D

解析对于选项(A)，若A与B相似，则有P^﹣1AP＝B，那么P^﹣1A²P＝(P^﹣1AP)(P^﹣1AP)＝B²，进而知A²与B²相似．但A²与B²相似时，推不出A与B相似．例如A＝

，B＝

．由于R(A)≠R(B)，易见A与B不相似，但A²＝B²，而有A²与B²相似．因此(A)是必要条件但不是充分条件．
对于选项(B)，它也是必要条件而不是充分条件．这是因为由P^﹣1AP＝B，有
｜λE－B｜＝｜λE－P^﹣1AP｜＝｜P^﹣1(λE－A)P｜＝｜λE－A｜
即A，B有相同的特征值．但条件(A)中例子告诉我们虽然A，B有相同特征值λ₁＝λ₂＝0，但A与B是不相似的．
对于选项(C)，若p是矩阵A属于特征值λ的特征向量，p是矩阵B属于特征值μ的特征向量，虽然A与B有相同的特征向量，但由于特征值的不同，所以A与B不可能相似．(C)不是充分条件．
对于选项(D)，若A与

相似，B与

相似，则有P₁^﹣1AP₁＝

＝P₂^﹣1BP₂，那么P₂P₁^﹣1AP₁P₂^﹣1＝B．令P＝P₁P₂^﹣1，则有P^﹣1AP＝B，即A与B相似．所以(D)是充分条件．

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