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  3. n阶矩阵A与B相似的充分条件是( )．

n阶矩阵A与B相似的充分条件是( )．

admin2020-06-05  24
问题 n阶矩阵A与B相似的充分条件是(    )．
选项 A、A2与B2相似
B、A与B有相同的特征值
C、A与B有相同的特征向量
D、A与B均与对角矩阵A相似
答案D
解析 对于选项(A)，若A与B相似，则有P﹣1AP＝B，那么P﹣1A2P＝(P﹣1AP)(P﹣1AP)＝B2，进而知A2与B2相似．但A2与B2相似时，推不出A与B相似．例如A＝，B＝．由于R(A)≠R(B)，易见A与B不相似，但A2＝B2，而有A2与B2相似．因此(A)是必要条件但不是充分条件．
对于选项(B)，它也是必要条件而不是充分条件．这是因为由P﹣1AP＝B，有
｜λE－B｜＝｜λE－P﹣1AP｜＝｜P﹣1(λE－A)P｜＝｜λE－A｜
即A，B有相同的特征值．但条件(A)中例子告诉我们虽然A，B有相同特征值λ1＝λ2＝0，但A与B是不相似的．
对于选项(C)，若p是矩阵A属于特征值λ的特征向量，p是矩阵B属于特征值μ的特征向量，虽然A与B有相同的特征向量，但由于特征值的不同，所以A与B不可能相似．(C)不是充分条件．
对于选项(D)，若A与相似，B与相似，则有P1﹣1AP1＝＝P2﹣1BP2，那么P2P1﹣1AP1P2﹣1＝B．令P＝P1P2﹣1，则有P﹣1AP＝B，即A与B相似．所以(D)是充分条件．
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考研数学一

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