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  3. 已知A＝，求An．

已知A＝，求An．

admin2020-06-05  19
问题 已知A＝，求An．
选项
答案方法一 由A＝[*]得A2＝[*]＝2A，由此A3＝2A2＝22A． 猜想Ak＝2k－1A，用数学归纳法进行证明： (1)当n＝2时，结论成立． (2)假设结论对n＝k成立，即Ak＝2k－1A，那么当n＝k＋1时，Ak+1＝Ak·A＝2k－1A·A＝2kA，即当n＝k＋1时结论成立．故 An＝2n－1A＝[*] 方法二 设A＝[*]＝B＋C，其中B＝[*]，C＝[*]且有BC＝CB＝0，从而 An＝(B＋C)n＝Bn＋Cn＝2n－1B＋[*] 方法三 [*] 于是A的特征值为λ1＝0，＝2．可求得对应λ1＝0的特征向量p1＝(﹣1，0，1)T；对应λ2＝λ3＝2的线性无关特征向量为p2＝(1，0，1)T，p3＝(0，1，0)T，令 [*] 从而 [*]
解析
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考研数学一

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