已知A＝，求An．

admin2020-06-05 22

问题已知A＝

，求Aⁿ．

选项

答案方法一由A＝[*]得A²＝[*]＝2A，由此A³＝2A²＝2²A．猜想A^k＝2^k－1A，用数学归纳法进行证明： (1)当n＝2时，结论成立． (2)假设结论对n＝k成立，即A^k＝2^k－1A，那么当n＝k＋1时，A^k+1＝A^k·A＝2^k－1A·A＝2^kA，即当n＝k＋1时结论成立．故 Aⁿ＝2^n－1A＝[*] 方法二设A＝[*]＝B＋C，其中B＝[*]，C＝[*]且有BC＝CB＝0，从而 Aⁿ＝(B＋C)ⁿ＝Bⁿ＋Cⁿ＝2^n－1B＋[*] 方法三 [*] 于是A的特征值为λ₁＝0，＝2．可求得对应λ₁＝0的特征向量p₁＝(﹣1，0，1)^T；对应λ₂＝λ₃＝2的线性无关特征向量为p₂＝(1，0，1)^T，p₃＝(0，1，0)^T，令 [*] 从而 [*]

解析

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考研数学一

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