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设某钢厂出售甲、乙两种钢材,当这两种钢材的销量分别为x和Y时,其总收益与总成本的差值函数为F(x,y)=-x2-4y2-2xy+15x+34y-36(单位:千元)。此外,出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元,出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。
设某钢厂出售甲、乙两种钢材,当这两种钢材的销量分别为x和Y时,其总收益与总成本的差值函数为F(x,y)=-x2-4y2-2xy+15x+34y-36(单位:千元)。此外,出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元,出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。
admin
2020-04-09
21
问题
设某钢厂出售甲、乙两种钢材,当这两种钢材的销量分别为x和Y时,其总收益与总成本的差值函数为F(x,y)=-x
2
-4y
2
-2xy+15x+34y-36(单位:千元)。此外,出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元,出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。
(Ⅰ)在不限制运输费用支出的情况下,这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
(Ⅱ)当在运输费用不得超过6千元的条件下,这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
选项
答案
(Ⅰ)设甲、乙两种钢材销量分别为x和y,则总利润函数为L(x,y),则 L(x,y)=F(x,y)-x-2y=14x+32y-x
2
-2xy-4y
2
-36。 令[*] 解得x=4,y=3。 因为必存在最大利润,故在不限制运输费用的情况下,当甲、乙两种钢材的销量分别 为x=4,y=3时,总利润最大,且最大利润为40千元。 (Ⅱ)求总利润函数L(x,y)在约束条件x+2y=6下的最大值,构造拉格朗日函数 F(x,y,λ)=L(x,y)+λ(x+2y-6), 并求F(x,y,λ)的驻点,令 [*] 解得x=2,y=2。 因此当运输费用不超过6千元的情况下,两种钢材的销量均为2吨时总利润最大,最大利润为28千元。
解析
本题考查二元函数的极值和条件极值。很显然第一问就是简单的求解最值问题,且该题为实际问题,所以驻点即为所求的最大值点;第二问是在一定的约束条件下的条件极值问题,需要利用拉格朗日乘数法进行求解。
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考研数学三
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