2. 考研
  3. (1)设，y’(1)=0．计算变限积分 ∫1x[t2y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt， 使得结果中不含y’’(x)，也不含积分号； (2)求微分方程 x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=x∈(0，+∞) 满足初始条件

(1)设，y’(1)=0．计算变限积分 ∫1x[t2y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt， 使得结果中不含y’’(x)，也不含积分号； (2)求微分方程 x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=x∈(0，+∞) 满足初始条件

admin2018-09-25  55
问题 (1)设，y’(1)=0．计算变限积分
∫1x[t2y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt，
使得结果中不含y’’(x)，也不含积分号；
(2)求微分方程
x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=x∈(0，+∞)
满足初始条件，y’(1)=0的特解．
选项
答案(1)由分部积分， ∫1x[txy’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt =∫1xt2dy’(t)+4∫1x(t+1)dy(t)+2∫1xy(t)dt =t2y’(t)｜1x－2∫1xty’(t)dt+4(t+1)y(t)｜1x－4∫1xy(t)dt+2∫1xy(t)dx =x2y’(x)－y’(1)－2∫1xtdy(t)+4(x+1)y(x)－8y(1)－2∫1xy(t)dt =x2y’(x)－2ty(t)｜1x+2∫1xy(t)dt+4(x+1)y(x)+[*]－2∫1xy(t)dt =x2y’(x)+2xy(x)+4y(x)+1． (2)将方程 x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=[*] 两边对x积分，从x=1到x=x，由(1)，得 [*] 此为一阶线性微分方程，由通解公式， [*] 所以通解为 [*] 因为x=1时， [*] 故所求的特解为 [*]
解析
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考研数学一

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